====== Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации радоновских интегралов как линейных функционалов ====== === В.К. Захаров, Т.В.Родионов === ---- **Аннотация курса**: курс лекций посвящён изложению современных методов в теории меры и интеграла и их использованию для решения проблемы описания интегралов по радоновским мерам в виде некоторых линейных функционалов на некоторых функциональных пространствах. Эта проблема восходит к знаменитой теореме Рисса (1909), утверждающей, что ограниченные линейные функционалы на пространстве непрерывных на отрезке функций (и только они) являются интегралами Римана-Стилтьеса по функциям ограниченной вариации. В решении проблемы на разных его этапах принимали участие такие математики как Адамар, Фреше, Рисс, Радон, Банах, Сакс, Какутани, Халмош, Хьюитт, Эдвардс, Бурбаки, Прохоров, Топсо, Фремлин и др. Курс лекций знакомит с историей проблемы, с современными понятиями и методами, разработанными в ходе её решения, с этапами её решения, с общим решением проблемы, полученным недавно Захаровым, Михалёвым и Родионовым, а также с приложениями полученных результатов к решению других задачах теории функций, функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов. В частности, с приложением к задаче о слабой компактности семейств радоновских мер (обобщение критерия Прохорова). ---- == Тематическое содержание курса == == 1 семестр == == Интегралы по широким радоновским мерам на пространствах симметризуемых функций == - Общие меры - Вариации мер - Разложения мер - Топологические меры - Радоновские меры - Интеграл Лебега-Радона-Фреше по общим мерам - Свойства интеграла Лебега-Радона-Фреше по общим мерам - Интеграл Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам - Текущий контроль успеваемости - Свойства интеграла Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам - Проблема характеризации интегралов Лебега-Радона-Фреше по общим мерам как линейных функционалов - Теорема Стоуна и её обобщение - Проблема характеризации интегралов Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам как линейных функционалов - Три метода решения проблемы - Исходная теорема Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов (доказательство Рисса 1914 года с идеей Юнга). - Связь функций ограниченной вариации с радоновскими мерами - Основное семейство непрерывных функций на тихоновском топологическом пространстве. - Основное семейство метаполунепрерывных (симметризованных) функций на хаусдорфовом топологическом пространстве. Теоремы о поточечно-монотонной непрерывности радоновских интегралов на основных семействах. - Метод Юнга-Даниэля продолжения непрерывного функционала с основного семейства. ---- == 2 семестр == == Методы Даниэля, Стоуна-Александрова и Фремлина в теории радоновских интегралов == - Теорема Фремлина о продолжении оценивания до меры. - Построение радоновской меры по продолженному функционалу. - Результаты Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше: общая параметрическая теорема характеризации радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: теорема Халмоша-Хьюитта-Эдвардса характеризации радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: теорема Халмоша-Хьюитта-Эдвардса характеризации положительных радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: теорема характеризации произвольных радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: теорема Бурбаки-Прохорова характеризации ограниченных радоновских интегралов на тихоновском пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: Теорема Эдвардса характеризации ограниченных радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов. - Следствие общей параметрической теоремы: исходная теорема Рисса (вывод по Семадени). - Теорема Прохорова о слабой компактности множеств радоновских мер на польском пространстве. - Применение теорем характеризации радоновских интегралов к слабой компактности множеств радоновских мер. - Теорема о слабой компактности множеств радоновских мер на тихоновском пространстве. - Теорема о слабой компактности множеств радоновских мер на хаусдорфовом пространстве. - Интеграл Римана относительно ограниченной радоновской меры. - Новая характеризация функций, интегрируемых по Риману. ---- == Типовые контрольные задания == * Интегралы Римана-Стилтьеса * Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов (доказательство Рисса 1911года). * Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов в изложении Банаха (книга 1932). * Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов в изложении Натансона (и Хелли). * Оригинальные подходы Фреше (1910) и Фишера (1917) к характеризации двумерных интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов. Возможное обобщение на многомерный случай в изложении Камке. * Равенство горизонтального и вертикального интегралов Радона. Доказательство исходной теоремы Радона характеризации интегралов Радона как линейных функционалов (доказательство Радона 1913года). * Соответствие между радоновскими мерами на отрезке и функциями ограниченной вариации. * Оригинальные подходы Юнга (1911) и Даниэля (1918) к продолжению непрерывного функционала с исходного семейства. Доведение до характеризации интегралов. * Оригинальный подход Банаха (1937) к продолжению непрерывного функционала с исходного семейства на компактных метрических пространствах. Доведение до характеризации интегралов в формулировке Сакса. * Оригинальный подход Сакса (1937) к характеризации радоновских интегралов на компактных метрических пространствах. * Подход Какутани (1941) к характеризации радоновских интегралов на компактных пространствах в изложении Семадени. * Результаты Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше. * Приложение результатов Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше к характеризации интегралов Римана-Стилтьеса. ---- == Перечень учебной литературы == * Bourbaki N. El´ements de Math´ematique. Livre VI. Int´egration. Chapitre 9. Int´egration sur les espaces topologiques separes, Actualities sci. Ind., vol. 1343, Hermann, Paris, 1969. * Brudno A. L. Theory of functions of a real variable, Nauka, Moscow, 1971. * K¨onig H. Measure and Integration: an advanced course in basis procedures and applications, Springer –Verlag, Berlin, 1997. * Bogachev V. I. Measure Theory. Vol. I-II, Springer-Verlag, Berlin, 2007. * Захаров В.К., Михалёв А.В., Родионов Т.В. Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации интегралов // Успехи математических наук. 2010. Т. 65, вып. 4. С. 153-178. * Zakharov V.K., Mikhalev A.V., Rodionov T.V. Characterization of Radon integrals as linear functionals // Journal of Mathematical Sciences. 2012. V. 185. Iss. 2. P. 233-281. DOI. * Zakharov V.K., Mikhalev A.V., Rodionov T.V. Characterization of integrals with respect to arbitrary Radon measures by the boundedness indices // Journal of Mathematical Sciences. 2012. V. 185. Iss. 3. P. 417-429.