Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации радоновских интегралов как линейных функционалов

Аннотация курса: курс лекций посвящён изложению современных методов в теории меры и интеграла и их использованию для решения проблемы описания интегралов по радоновским мерам в виде некоторых линейных функционалов на некоторых функциональных пространствах. Эта проблема восходит к знаменитой теореме Рисса (1909), утверждающей, что ограниченные линейные функционалы на пространстве непрерывных на отрезке функций (и только они) являются интегралами Римана-Стилтьеса по функциям ограниченной вариации.

В решении проблемы на разных его этапах принимали участие такие математики как Адамар, Фреше, Рисс, Радон, Банах, Сакс, Какутани, Халмош, Хьюитт, Эдвардс, Бурбаки, Прохоров, Топсо, Фремлин и др.

Курс лекций знакомит с историей проблемы, с современными понятиями и методами, разработанными в ходе её решения, с этапами её решения, с общим решением проблемы, полученным недавно Захаровым, Михалёвым и Родионовым, а также с приложениями полученных результатов к решению других задачах теории функций, функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов. В частности, с приложением к задаче о слабой компактности семейств радоновских мер (обобщение критерия Прохорова).

1. Общие меры
2. Вариации мер
3. Разложения мер
4. Топологические меры
5. Радоновские меры
6. Интеграл Лебега-Радона-Фреше по общим мерам
7. Свойства интеграла Лебега-Радона-Фреше по общим мерам
8. Интеграл Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам
9. Текущий контроль успеваемости
10. Свойства интеграла Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам
11. Проблема характеризации интегралов Лебега-Радона-Фреше по общим мерам как линейных функционалов
12. Теорема Стоуна и её обобщение
13. Проблема характеризации интегралов Лебега-Радона-Фреше по радоновским мерам как линейных функционалов
14. Три метода решения проблемы
15. Исходная теорема Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов (доказательство Рисса 1914 года с идеей Юнга).
16. Связь функций ограниченной вариации с радоновскими мерами
17. Основное семейство непрерывных функций на тихоновском топологическом пространстве.
18. Основное семейство метаполунепрерывных (симметризованных) функций на хаусдорфовом топологическом пространстве. Теоремы о поточечно-монотонной непрерывности радоновских интегралов на основных семействах.
19. Метод Юнга-Даниэля продолжения непрерывного функционала с основного семейства.

1. Теорема Фремлина о продолжении оценивания до меры.
2. Построение радоновской меры по продолженному функционалу.
3. Результаты Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше: общая параметрическая теорема характеризации радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов.
4. Следствие общей параметрической теоремы: теорема Халмоша-Хьюитта-Эдвардса характеризации радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов.
5. Следствие общей параметрической теоремы: теорема Халмоша-Хьюитта-Эдвардса характеризации положительных радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов.
6. Следствие общей параметрической теоремы: теорема характеризации произвольных радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов.
7. Следствие общей параметрической теоремы: теорема Бурбаки-Прохорова характеризации ограниченных радоновских интегралов на тихоновском пространстве как линейных функционалов.
8. Следствие общей параметрической теоремы: Теорема Эдвардса характеризации ограниченных радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов.
9. Следствие общей параметрической теоремы: исходная теорема Рисса (вывод по Семадени).
10. Теорема Прохорова о слабой компактности множеств радоновских мер на польском пространстве.
11. Применение теорем характеризации радоновских интегралов к слабой компактности множеств радоновских мер.
12. Теорема о слабой компактности множеств радоновских мер на тихоновском пространстве.
13. Теорема о слабой компактности множеств радоновских мер на хаусдорфовом пространстве.
14. Интеграл Римана относительно ограниченной радоновской меры.
15. Новая характеризация функций, интегрируемых по Риману.

• Интегралы Римана-Стилтьеса
• Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов (доказательство Рисса 1911года).
• Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов в изложении Банаха (книга 1932).
• Доказательство исходной теоремы Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов в изложении Натансона (и Хелли).
• Оригинальные подходы Фреше (1910) и Фишера (1917) к характеризации двумерных интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов. Возможное обобщение на многомерный случай в изложении Камке.
• Равенство горизонтального и вертикального интегралов Радона. Доказательство исходной теоремы Радона характеризации интегралов Радона как линейных функционалов (доказательство Радона 1913года).
• Соответствие между радоновскими мерами на отрезке и функциями ограниченной вариации.
• Оригинальные подходы Юнга (1911) и Даниэля (1918) к продолжению непрерывного функционала с исходного семейства. Доведение до характеризации интегралов.
• Оригинальный подход Банаха (1937) к продолжению непрерывного функционала с исходного семейства на компактных метрических пространствах. Доведение до характеризации интегралов в формулировке Сакса.
• Оригинальный подход Сакса (1937) к характеризации радоновских интегралов на компактных метрических пространствах.
• Подход Какутани (1941) к характеризации радоновских интегралов на компактных пространствах в изложении Семадени.
• Результаты Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше.
• Приложение результатов Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше к характеризации интегралов Римана-Стилтьеса.

• Bourbaki N. El´ements de Math´ematique. Livre VI. Int´egration. Chapitre 9. Int´egration sur les espaces topologiques separes, Actualities sci. Ind., vol. 1343, Hermann, Paris, 1969.
• Brudno A. L. Theory of functions of a real variable, Nauka, Moscow, 1971.
• K¨onig H. Measure and Integration: an advanced course in basis procedures and applications, Springer –Verlag, Berlin, 1997.
• Bogachev V. I. Measure Theory. Vol. I-II, Springer-Verlag, Berlin, 2007.
• Захаров В.К., Михалёв А.В., Родионов Т.В. Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации интегралов Успехи математических наук. 2010. Т. 65, вып. 4. С. 153-178. * Zakharov V.K., Mikhalev A.V., Rodionov T.V. Characterization of Radon integrals as linear functionals Journal of Mathematical Sciences. 2012. V. 185. Iss. 2. P. 233-281. DOI.
• Zakharov V.K., Mikhalev A.V., Rodionov T.V. Characterization of integrals with respect to arbitrary Radon measures by the boundedness indices Journal of Mathematical Sciences. 2012. V. 185. Iss. 3. P. 417-429.