Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации радоновских интегралов как линейных функционалов

Когда: четверг, 5 пара

Где: 433 2 Уч. корпус

Курс лекций посвящён проблеме характеризации интегралов по радоновским мерам среди всех линейных функционалов на соответствующих семействах функций. Эта проблема восходит к известной теореме Ф.Рисса (1909), утверждающей, что ограниченные линейные функционалы на пространстве непрерывных на отрезке функций (и только они) являются интегралами Римана-Стилтьеса по функциям ограниченной вариации.

В решении проблемы на разных его этапах приняли участие такие известные математики как Адамар, Фреше, Рисс, Радон, Банах, Сакс, Какутани, Халмош, Хьюитт, Эдвардс, Бурбаки, Прохоров, Топсо, Фремлин и др.

Курс лекций знакомит с историей проблемы, с её общим решением, полученным недавно Захаровым, Михалёвым и Родионовым, с понятиями и методами, разработанными в ходе её решения, с приложениями в других задачах теории функций, функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов. В частности, в вопросах слабой компактности семейств вероятностных мер (обобщение критерия Прохорова).

Курс лекций рассчитан на студентов всех курсов и всех специальностей механико-математического факультета.

• Проблема характеризации интегралов как функционалов. Два параллельных метода доказательства теорем характеризации: метод Лебега-Радона-…-Халмоша-… и метод Юнга-Даниэля-…-Хьюитта-…. Смешанный метод. Обзор достижений в проблеме характеризации интегралов как функционалов.
• Исходная теорема Рисса характеризации интегралов Римана-Стилтьеса как линейных функционалов (доказательство Рисса 1914 года с идеей Юнга).
• Общие и радоновские меры. Интеграл Лебега-Радона-Фреше по общим и по радоновским мерам. Проблема Рисса-Радона-Фреше характеризации радоновских интегралов как линейных функционалов.
• Основное семейство непрерывных функций на тихоновском топологическом пространстве. Основное семейство метаполунепрерывных (симметризованных) функций на хаусдорфовом топологическом пространстве. Теоремы о поточечно-монотонной непрерывности радоновских интегралов на основных семействах.
• Метод Юнга-Даниэля продолжения непрерывного функционала с основного семейства.
• Теорема Фремлина о продолжении оценивания до меры. Построение радоновской меры по продолженному функционалу.
• Результаты Захарова-Михалёва-Родионова по проблеме Рисса-Радона-Фреше: общая параметрическая теорема характеризации радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов.
• Следствие общей параметрической теоремы: теорема Халмоша-Хьюитта-Эдвардса характеризации радоновских интегралов на локально-компактном пространстве как линейных функционалов.
• Следствие общей параметрической теоремы: теорема Бурбаки-Прохорова характеризации ограниченных радоновских интегралов на тихоновском пространстве как линейных функционалов. Теорема Эдвардса характеризации ограниченных радоновских интегралов на хаусдорфовом пространстве как линейных функционалов.
• Следствие общей параметрической теоремы: исходная теорема Рисса (вывод по Семадени).
• Применение теорем характеризации радоновских интегралов к слабой компактности множеств радоновских мер.